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2010年5月

2010年5月31日 (月)

簡単 ワイヤーで作る正12面体模型

12mentai01_2 針金で正五角形を12個作り、それらを組み立てて正12面体の模型を作ってみた(1辺2cm)。使用した材料は、フラワー用ワイヤ(白)、カラーワイヤ(青、緑)、工具は物差し、鉛筆、ニッパー、先細ペンチだ。

作り方は次のとおり。

●フラワー用ワイヤに2cmずつ鉛筆で印を入れ、10cmの所でニッパーで切断する。この10cmのワイヤで、1辺2cmの正五角形が1個できる。ワイヤー1本で3個分取れるので、12個作るためには4本のワイヤーが必要だ。

●2cmの印の所を、直角より少し広いめに先細ペンチで折り曲げていく(実際の角度は108°)。4回曲げると、だいたい正5角形の形になる。

●12個の正5角形モチーフを、辺と辺を合わせてカラーワイヤーで留めていく。ここが一番難しい作業だ。カラーワイヤーは、先に1.5cmくらいに切っておくと楽だ(辺の数だけ、つまり30本)。カラーワイヤーを巻き付けるのは、少しコツがある。まず真ん中で1回巻いて、片方ずつ先細ペンチでしっかり巻いていく。きっちり密着して巻くときれいに仕上がる。ここは練習あるのみだ。

●全部の辺を留めると、自然に正12面体の形になる。強度もあって、床に落としてもバウンドするくらいだ。

12mentai02 12mentai03 12mentai04 出来上がった模型を観察してみると、色々なことがわかる。まず平行な2つの面は向きがずれている。見る角度によって、輪郭が正10角形に見えたり、6角形に見えたりする。色々な部分の角度を予想・計算してみて、実際に測ってみるのも面白そうだ。

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2010年5月20日 (木)

0乗は1の理由=1に何も掛けないから

 数学でべき乗を習ったとき、例えば2の2乗は2を2回かけたもの、つまり

  2=2×2=4

と習ったように思う。同様に、2の3乗は2を3回掛けるから

  2=2×2×2=8

と習ったはずだ。

そして、2の1乗は2が1つだから2、つまり

  2=2

と習う。(あれ?2を1回掛けるのではないのか?)。でも、ここまではよいことにしよう。

さて、2の0乗は2が1つもないから0だと思うかも知れないが実は1なのだ、と続く。つまり

  2=1

これは、約束になっているから覚えておきなさい、と教えてもらった。先生は「0乗が0だったらおかしなことになる。1だとすべてうまくいく」と説明されたのを覚えている。なんで?不思議やと思ったが、そのときは理由が分からなかった。そして、大学で数学を勉強し、就職して技術者になって、「0乗が1になる」というのは常識であり、それを知らないのは恥ずかしいことだと思うようになっていった。

 実際に自分が人に教える立場になって、保留になっていたこのテーマがよみがえった。よく考えてみると、2を2回掛けるのが2の2乗なら、2を1回掛けるのが2の1乗のはずだ。「2が1つだから」というのは実に巧妙なすり替えだ。では何に2を1つ掛けるのか?

そもそも、 2の2乗は2×2だから2を1回しか掛けてないではないか。3乗だって2×2×2だから2を掛けるという操作は2回だけだ。これを2回掛けるとか3回掛けるというためには、「何かに」という言葉を補う必要がある。つまり、

  2 =「何か」×2×2

これでこそ「2を2回掛ける」という操作をあらわす式になる。この「何か」が1であることはすぐにわかるだろう。

  2 =1×2×2=4

そうすると2の1乗は

  2 =1×2=2

さらに2の0乗は、2を1回も掛けないから1だけが残って

  2 =1

と、当然の結果になる。

つまり、こういうことだ。お約束なのは「2の0乗が1」ということではなくて、「2のn乗というのは1に2をn回掛けるという操作」ということだ。これは2以外の数にもあてはまるから、一般にAのn乗とは1にAをn回掛けるという演算であるといえる。

このように考えると、Aの-1乗は1をAで1回割る操作、Aの-2乗は1をAで2回割る操作、と無理なく考えを進めることができる。

こんな簡単なことを、なぜ遠回りして難しく議論するのか不思議でならない。それがお約束なんだろうか。

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