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2010年5月20日 (木)

0乗は1の理由=1に何も掛けないから

 数学でべき乗を習ったとき、例えば2の2乗は2を2回かけたもの、つまり

  2=2×2=4

と習ったように思う。同様に、2の3乗は2を3回掛けるから

  2=2×2×2=8

と習ったはずだ。

そして、2の1乗は2が1つだから2、つまり

  2=2

と習う。(あれ?2を1回掛けるのではないのか?)。でも、ここまではよいことにしよう。

さて、2の0乗は2が1つもないから0だと思うかも知れないが実は1なのだ、と続く。つまり

  2=1

これは、約束になっているから覚えておきなさい、と教えてもらった。先生は「0乗が0だったらおかしなことになる。1だとすべてうまくいく」と説明されたのを覚えている。なんで?不思議やと思ったが、そのときは理由が分からなかった。そして、大学で数学を勉強し、就職して技術者になって、「0乗が1になる」というのは常識であり、それを知らないのは恥ずかしいことだと思うようになっていった。

 実際に自分が人に教える立場になって、保留になっていたこのテーマがよみがえった。よく考えてみると、2を2回掛けるのが2の2乗なら、2を1回掛けるのが2の1乗のはずだ。「2が1つだから」というのは実に巧妙なすり替えだ。では何に2を1つ掛けるのか?

そもそも、 2の2乗は2×2だから2を1回しか掛けてないではないか。3乗だって2×2×2だから2を掛けるという操作は2回だけだ。これを2回掛けるとか3回掛けるというためには、「何かに」という言葉を補う必要がある。つまり、

  2 =「何か」×2×2

これでこそ「2を2回掛ける」という操作をあらわす式になる。この「何か」が1であることはすぐにわかるだろう。

  2 =1×2×2=4

そうすると2の1乗は

  2 =1×2=2

さらに2の0乗は、2を1回も掛けないから1だけが残って

  2 =1

と、当然の結果になる。

つまり、こういうことだ。お約束なのは「2の0乗が1」ということではなくて、「2のn乗というのは1に2をn回掛けるという操作」ということだ。これは2以外の数にもあてはまるから、一般にAのn乗とは1にAをn回掛けるという演算であるといえる。

このように考えると、Aの-1乗は1をAで1回割る操作、Aの-2乗は1をAで2回割る操作、と無理なく考えを進めることができる。

こんな簡単なことを、なぜ遠回りして難しく議論するのか不思議でならない。それがお約束なんだろうか。

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数学」カテゴリの記事

コメント

オオヒキガエル様、ありがとうございます!

投稿: 佐伯英子 | 2015年12月 3日 (木) 18時50分

30代の再学習者です。まさかこんな単純なことだったとは。すっきりしました♪

投稿: オオヒキガエル | 2015年12月 3日 (木) 16時03分

ショウさん、1に2を0回掛けるというのは、1に0を掛けることではありません。
0回掛けることと、0を掛けるを混同していませんか?
あなたの式の流れでは、
1*2*3=6 2の3乗
となってしまいます。
1*2*2=4 2の2乗
1*2*1=2 2の1乗
ここだけ、たまたま成り立っているのです。

投稿: 佐伯英子 | 2015年9月14日 (月) 23時49分

2を0回かけて何もないから0とするなら、与えられた式の流れで行くと1*0=0となり1は残らないと思うのです。
1*2*2=4 2の2乗
1*2*1=2 2の1乗
1*2*0=0 2の0乗 となってしまいます。
おっしゃることはわかるのですが、取り除くと消えてしまうとかいう書き方が数学的ではないと思うのです。
私的には、乗数が半分になると解が半分になることから、2の0乗は1であると考えるか、2のn乗分の2のn乗=1であることから、n-n=0、つまり2の0乗は1であると考えるが適切ではないかと考えます。

投稿: ショウ | 2015年9月14日 (月) 22時43分

0の0乗は0にはなり得ません。
0のx乗におけるx→0の極限値だという議論がありますが、0^xは、x>0のときは常に0、x<0のとき不定です。
この関数にx→0の極限値は存在しません。
x=0のときだけ1になる、不連続な関数なのです。
したがって、0^0=0 という考え方は誤りです。

投稿: 佐伯英子 | 2014年7月12日 (土) 14時37分

でもこれ「0^0=1」になるよね
情報系の学校とか行っちゃうとこれが普通だけれど、調べてみると「0^0=0」にもなるらしい
数学ってよくわかんないね

投稿: 名無し | 2014年7月10日 (木) 23時51分

カナダ住んでいます。子供が春休みの宿題で悩んでいました。私も、もう何十年以上も前にやったことなので忘れていました。それで、ここにたどり着きました。納得しました。解りやすい説明ありがとうございます。

投稿: Keiko | 2014年3月30日 (日) 10時36分

すごくすっきりしました。理由がわからずただ暗記した高校時代の自分に教えてあげたいです。
決まり事だからとか、法則だからとかじゃなく、納得できる説明があれば数学嫌いが減るのでは?と思います…。
自分もかつて大嫌いでしたが、なぜそうなるのか納得できたとき、すごくすっきりし、感動しました。それ以来数学が好きになり、たまに勉強します。
こちらの記事に出会い、数学がまた好きになりました。
本当にありがとうございました。

投稿: Cosmos | 2013年8月28日 (水) 22時59分

頂いたコメントが励みになってます。
ありがとうございます。

投稿: 佐伯英子 | 2013年7月13日 (土) 19時15分

いいですね。最初からそう説明してくれればいいのにと思いますよね。
その方が数学が面白くなるはずです。

投稿: なっくあおち | 2013年7月13日 (土) 11時29分

なるほど!勉強になります。
とても分かりやすく説明して下さったおかげで、長年の謎がすっきりしました。
本当にありがとう御座います。

投稿: Black Cat | 2013年2月22日 (金) 11時07分

長年決まり事としか覚えていませんでしたがようやくスッキリしました。

1が隠れていたんですね!
納得です。ありがとうございました

投稿: とし | 2013年1月 6日 (日) 17時37分

非常に勉強になりました。
決まり事として考えなくても理解できる、素晴らしい理論だと思います。ありがとうございます。

投稿: 世捨て人 | 2012年11月27日 (火) 23時23分

超わかりやすい!

かなりすっきりしました(o^∀^o)

投稿: 中田 | 2012年5月14日 (月) 22時46分

感動しました :)

投稿: 通りすがり | 2012年2月17日 (金) 03時34分

疑問が解けました。
ありがとうございます_(._.)_

投稿: Wisdom | 2011年9月27日 (火) 20時22分

勉強になりましたflair

投稿: nori | 2010年8月12日 (木) 02時04分

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