数学

2014年9月12日 (金)

マイナス掛けるマイナスはプラスの理由

掛け算は足し算のくり返しである。
例えば
   2+2+2+2+2 = 2×5 = 10
というように、同じ数の足し算をまとめたものが掛け算である。

ならば負数の場合はどうだろう。
   (-2)+(-2)+(-2)+(-2)+(-2) = -2×5 = -10
負数を「借金」と考えると、わかりやすいだろう。
上の例では、「借金」が 5 つ増えて 5 倍になっている。

掛ける数が負の場合はどうだろう。
   2×(-5) = -10
を例にして考えてみよう。

5 倍するというのは 5 回足すということだが、-5 倍するとはどういうことだろう。
プラス倍は足し算だから、マイナス倍は引き算と考えられる。
つまり、上の例では 2 を 5 回引くということになる。
5 回引くためには、式の前に省略されているものを明示する必要がある。
   0-2-2-2-2-2 = 2×(-5) = -10
マイナス 5 倍とは、つまり( 0 から) 5 回引くということなのだ。

それでは、負数同士の掛け算はどうなるだろうか。
   (-2)×(-5) = 10
を例にして考えてみよう。
この式を引き算に展開すると
   (-2)×(-5) = 0-(-2)-(-2)-(-2)-(-2)-(-2)
となる。
(-2) を引くということは「借金 2」を減らすことだから 2 増えることになる
   (-2)×(-5) = 0-(-2)-(-2)-(-2)-(-2)-(-2)
               = 0+2+2+2+2+2
               = 10
となって、結果はプラスになる。

まとめていえば、マイナスの数にマイナスの数をかけるというのは、「借金」を引き算することだから答えはプラスになるのである。

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2014年8月 4日 (月)

0の0乗について

0 の 0乗は、コンピュータでは通常 1 として扱われる。
これは便宜上のお約束なのだろうか、それとも根拠のあることなのだろうか。
0 の 0乗とは、べき乗の定義から考えると 1 に 0 を 0 回掛けるということだから、答えは 1 である。
答えは明快だが、摩訶不思議な議論が難しく語られているので、もう少し考えてみよう。
0 の 1乗とか、0 の 2乗とか考えていくと、どんな数でも 0 を掛けると 0 になってしまうので、それ以上の情報は得られない。
そこで、とても 0 に近い数のべき乗がどうなるか考えてみよう。
次のグラフは、0.1 の x乗、0.01 のx乗、… 0.0000000001 の x乗のグラフを重ね合わせたものだ。
グラフの作成には、JS関数グラフ作成ツールというソフトを使用した。

Graph_0x_2

カーブがいちばん緩やかなのが 0.1 の x乗( y=0.1^x )で、以降はx軸・y軸に接近していくのが分かる。
数字が 0 に近づくほどカーブは直線的になっていき、軸に密着していく。
もう一点、これらの一連のグラフは x=0 のとき、しっかり y=1 を通っていることもわかる。
べき乗は、整数ばかりではなく小数でも計算できるので、x が整数の 1 や 2 以外のところでもグラフはつながっている。
乗数が小数というのは、たとえば 0.5乗=2分の1乗=√(平方根)という意味だ。
つまり、1乗の半分=2回掛けたらその数になるという意味で、平方根の定義そのものだ。
同様に3分の1乗は3回掛けたらその数になるという意味だから、立方根のことだ。
話を 0 の x乗に戻そう。
0.000…01 と 0 をどんどん増やしていくと、いくらでも 0 に近づくことができる。
「ここまで」という限界はない。
そして、その 0 にものすごく近い数の x乗も計算できて、グラフは必ず x=0, y=1 の点をとおる。
しかしいくら 0 に近い数であっても、けっして 0 ではない。
そして、その「先」にある 0 の x乗はどうなるか。
0 の x乗は定義どおり、x が 0 より大きいときは 0 (x軸)、x=0 のときは 1、x が 0 より小さいときは不定となる。
これは感覚的にも理解できることだ。
0 と無限はつながっている.......。
ここにこそ、これから解明していくべき「不思議」があるのではないか。

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2013年11月10日 (日)

星の12面体~不思議な黄金比の立体~

1201

カラーアルミのワイヤーで正五角形に内接する星型(五芒星)を12個作る。それらをモチーフとして正12面体を組み立てると、キラキラ輝く美しい星の立体ができる。五芒星(中の正五角形がないので五稜星)は黄金比を数多く含む不思議な図形だ。それを組み立ててできる立体は、見る角度により正三角形や正方形ほか様々な図形が現れる。金属光沢により、図形がいっそう明瞭に見えて美しくとても不思議だ。

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作り方は以前の記事で紹介しているが、モチーフの接着には瞬間接着剤が適しているようだ。うまく作るコツは、星型の寸法を正確に作ることだ。
★以前の記事★ 「ワイヤーで作る正12面体模型(星のモチーフ)」
下の写真はステレオグラムになっているので、立体感を味わうことができる。
(上は平行法、下は交差法)

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2013年9月21日 (土)

フラクタルCGアニメ

カオス・フラクタルCG作品集にフラッシュで掲載していた動画を、wmvファイルにしてYoutubeにアップロードした。ダウンロード待ち時間が短くなり、すぐに再生される。フルスクリーンモードで見ると、かなり迫力がある。

他のCGも動画にして、順次アップロードしてみようと思う。

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2013年5月 2日 (木)

セイロンベンケイソウとフラクタルCG

Benkei02_2Benkei01_2

1990年代バブルのはじめ頃、心斎橋の東急ハンズで「葉から芽」という葉っぱを1枚買った。そういう植物があるのは知っていて、ぜひほしいと思っていたので500円くらいで買ったのだった。それから数年、葉から出た芽が立派な株になり、灯籠のような地味な花を鈴なりにつけた。ベンケイソウ科の植物で、セイロンベンケイソウとか灯籠草とか、いろいろな名で呼ばれているらしい。葉から芽が出るうえ丈夫なので、いくらでも増える。

葉から芽が出る様子はフラクタルな感じで、見慣れるまでは不思議でならなかった。漸化式のフラクタル画像を調べているうちに、セイロンベンケイソウを連想するような図形を見つけた。フラクタルCGは、何かに見える画像がよく現れるが、これもその一つだ。解析的に解くのは得意でないが、雲をつかむような問題にアプローチするのは大好きだから、事実を積み重ねていくうちに、ある日突然ヒントがひらめくかも知れない。

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2012年12月25日 (火)

ワイヤーで作る正12面体模型(星のモチーフ)

Hosi121Hosi122

Hosi123

Hosi124

Hosi125

針金で星のモチーフを12個作り、それらを組み立てて正12面体の模型を作った。星形の1辺の長さは1cmにした。
正五角形のワイヤー・モチーフで正12面体模型をつくる方法はこちら。
正五角形のモチーフは辺と辺をつないで組み立てたが、星形のモチーフは頂点と頂点を接着して組み立てる。
作り方は次のとおり。
●針金を10cmに切ったものを12本用意する。
●出来るだけ正確に1cmずつ印を入れ、山・谷と交互に折っていくと自然に星形になる。形を整え始点と終点を接着剤で留める。(瞬間接着剤がよい)
●モチーフが12個できたら、5つのモチーフを横につなぐ(扇形になる)。
 接着剤は、セメダインやボンドのような、すぐに固まらないものがよい。
 息をかけると早く固まる。ある程度固まったら、両端を接着して輪にする。
 輪の狭い方の5つの頂点に、モチーフを接着する。これで半分ができた。
●同様のものを、残りの6つのモチーフで作る。
●固まりきらないうちに、ゆがみ等を修正し出来るだけ正しい形にする。
●最後に半分ずつの各頂点を接着すれば、1個の12面体が完成する。
●ひずみ等は、接着剤が固まってしまう前に調整する。余分な接着剤をピンセットで除去して、きれいに仕上げる。
1辺が1cmの星形だから、12面体の1辺は約√3cmになる。
実際には辺のところにワイヤーはないが、隣り合う頂点の距離を測って確認してみよう。
見る角度を変えると、いろんな形が現れてとても不思議だ。

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2012年3月10日 (土)

カオス・フラクタルCG/深海生物

非線形の漸化式によるカオス・フラクタルCGでは、「何か」に見える様々な模様が現れる。その中で、「深海生物」のような印象を受ける画像をいくつか紹介しよう。

Nlf131_2Nlf132Nlf133Nlf136Nlf149Nlf02005Nlf02060Nlf02053











本来モノトーンの画像であるが、青系の彩色によって深海の印象が強くなる。微生物のように見えるものもあるが、この画像を発生する式に単位がないので、画像のスケールにはあまり意味がなのではないか、と考えている。そもそも物とは何なのか、空間や時間との関係は何なのか、その一端を垣間見る入り口がありそうな気がする。
C言語による「カオス・フラクタルCG作品集」

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2012年2月19日 (日)

ロマネスコとフラクタルCG

Romanesco これはロマネスコという名前の、カリフラワーの一種だ。「カリッコリー」という品名でスーパーで売られていた。蕾の配列が見事なフラクタルになっていて、前からほしいと思っていた。カリフラワーもよく見ると、立派なフラクタル構造をしているが、ロマネスコはさらに見事だ。

Fractalromanesco1 Fractalromanesco2 カオス・フラクタルCGのジュリア集合で、これとそっくりな画像が得られる。形が作られるうえで、何か共通のルールがあるのだろう。カオス・フラクタルの画像は、「何かに見える」ものが多い。たくさんの画像を見ているうちに、何か閃くことがあるかも知れない。

このCG画像は、「カオス・フラクタルCG作品集」のジュリア集合のページに掲載しています。

http://saeki-ce.akiba.coocan.jp/chaos-fractal/julia.html

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2010年11月 9日 (火)

非線形漸化式のカオス(2)

Nlf033s Nlf035s Nlf041s Nlf042s

Nlf048s Nlf050s Nlf055s Nlf058s

簡単な漸化式から発生するカオス模様に、彩色を施したCG作品です。C言語プログラムで、画像の発生・彩色・ビットマップファイルへの保存をおこなっています。本来はグレースケールの画像ですが、RGBのトーンカーブを調整して色を発生させることにより、バーチャルなリアルさを出しています。画像そのものは、コンピュータの精度の範囲で正確なものです。これらの画像は、 「カオスフラクタルCG作品集」 に新たに追加した作品の一部です。

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2010年10月31日 (日)

紙から立体へ

Kaminotama01Filmcase  古いチケットとかを保存している引き出しを整理していたら、フィルムケースが2つ出てきた。中身を見ると、紙を巻いて作った玉が出てきた。高校三年のある日、四角い紙は巻いていくと円柱になるが、それなら巻いていくと球になる形があるはずだ、と思いついて作ったものだ。展開図はどんな形になるのか、ちょっと恐いような探求心がわき起こり、紙の厚さとか糊の厚さとかいろいろ考えて式を作った。電卓で計算して方眼紙にグラフを描き、それを型紙として紙を切り糊を付けて巻いていくと、たしかに球に近いものはできるが、なかなか球にはならない。5つほど作っていやになり、逆にいい加減に切った紙を巻くとどんな形になるか、という方に興味が移っていろんな玉を作った。

Kaminotama05 Kaminotama04 Kaminotama03 左から、最も球に近いもの、紙を色鉛筆で黄色く塗って巻いたもの、チョコレートの包装紙を切って巻いたもの。糊を付けながら巻いていくので、ベタベタになって汚れを巻き込んだり、巻きがずれてしまったり大変難しい。色鉛筆で塗ったものは、紙がぶ厚くなって、ふくらんでしまっている。右端のチョコレートの紙は、巻き終わったときは良い感じだったが、糊が多すぎたせいか乾かしている間に下にずれてしまった。

Kaminotama02 これは、本屋さんが付けてくれた本のカバー紙を、適当に切って巻いたもの。短時間でたくさん作れる。苦労して計算して作ったものより、こちらの方が見栄えがいいのがショックだ。

 作ったあと2~3日かけて乾かして、机の引き出しにころがしていたが、ずっと後になってフィルムケースに入れた。捨てるに忍びなかったのだろう。

Tulipbag  紙から立体物ができる、ということで思い出すのは、幼稚園のときに作ったチューリップかばんだ。白い画用紙にクレヨンでチューリップの絵を描き、2枚重ねて切り抜く。上のギザギザの所を残して糊で貼り合わせ、細長く切った画用紙のベルトを付ければ、チューリップかばんの出来上がり。中にハンカチやおやつのお菓子を入れて、みんな大喜びだ。平べったい紙が、中にものが入るかばんになる、という衝撃的な出来事に胸がドキドキしたのを今でも思い出す。みんなもう他のことをやっているのに、もう一つ作る、もう一つ作るといって、先生を困らせてしまった。

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